Estudo analítico das teorias de viga de Bernoulli e Timoshenko para condições de contorno variadas

Analytical study of Bernoulli and Timoshenko beam theories for varied boundary conditions

Thiago Cunha da Silva

Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro, Brasil.
E-mail: [email protected] | ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3942-9723

Resumo

Neste artigo é analisada a diferença que ocorre nos deslocamentos utilizando as teorias de viga de Bernoulli e Timoshenko, variando-se a relação entre o vão e a altura da seção transversal e alterando a condição de contorno do elemento estrutural. As análises efetuadas ficaram restritas a vigas de seção retangular. Foi demonstrado que o efeito da distorção devido ao cisalhamento (teoria de Timoshenko), em comparação com a teoria de Bernoulli, amplifica os deslocamentos obtidos na estrutura em função da redução da relação vão/altura e com o aumento do grau de hiperestaticidade da estrutura, chegando, em alguns casos, a uma diferença superior ao dobro. Foram propostas relações limites de tamanho de vão e altura da seção transversal em função da condição de contorno para a consideração da distorção por cisalhamento.

Palavras-chave: Viga de Timoshenko. Coeficiente de cisalhamento. Análise estrutural.

Abstract

In this paper is analyzed the difference that occurs in the displacements using the Bernoulli and Timoshenko beam theories by varying the relationship between span and height of the cross section and changing the boundary conditions of the structural element. The analyzes were restricted to rectangular cross section beams. It was demonstrated that the effect of the shear coefficient (Timoshenko’s theory), in comparison with Bernoulli’s theory, amplifies the displacements obtained in the structure due to the reduction of the span/height relationship and the increase of the degree of internal static indeterminacy, reaching in some cases a difference of more than double. Limit ratios of span size and cross section height were proposed as a function of the boundary condition for the consideration of the shear coefficient.

keywords: Timoshenko’s beam. Shear coefficient. Structural analysis.

1 Introdução

No dimensionamento estrutural, algumas hipóteses devem ser estabelecidas a fim de criar um modelo matemático para caracterizar determinado fenômeno físico. Na engenharia estrutural pode-se citar como as teorias mais importantes as de viga de Bernoulli e de Timoshenko.

A teoria de viga de Bernoulli consiste em admitir que, para pequenas deformações, as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à linha neutra. Tal hipótese é válida somente quando a viga está submetida a pequenas deformações e pequenos deslocamentos, para grandes deformações e deslocamentos tal hipótese não é mais válida.

A teoria de viga de Timoshenko considera a distorção por cisalhamento que ocorre na seção transversal, ou seja, as seções não necessariamente ficam planas em relação à seção transversal, isto é, ocorre o empenamento da seção. Tal efeito torna-se considerável para vigas de baixa relação entre o vão e a altura da seção. De forma análoga à teoria de viga de Bernoulli, tais hipóteses são válidas somente para vigas de pequenas deformações e deslocamentos.

A teoria de viga de Timoshenko pode ser vista como a teoria mais precisa do ponto de vista físico do problema, haja vista que ela se aproxima mais do comportamento real da estrutura por considerar em sua formulação o efeito do cisalhamento, que é desconsiderado na teoria de viga de Bernoulli. Entretanto, o coeficiente de cisalhamento, oriundo da teoria de viga de Timoshenko, ainda é objeto de muitos estudos, como pode ser visto em Faghidian (2017), Chan et al. (2011).

Existem inúmeros trabalhos que visam a quantificar de forma mais precisa o coeficiente de cisalhamento da teoria de viga de Timoshenko. Faghidian (2017) apresenta uma compilação de diversas expressões para o valor do coeficiente de cisalhamento para diversos tipos de seções, Dong, et al. (2010) apresenta correções do fator de cisalhamento com base nos eixos principais de inércia para seções não simétricas e Chan, et al. (2011) apresenta uma nova abordagem para determinação do efeito do coeficiente de cisalhamento considerando os métodos energéticos.

2 Teoria de viga de Timoshenko

Os deslocamentos da teoria de viga de Timoshenko são dados por

Eq.1

Eq.2

Eq.3

Onde é a rotação total da seção, que considera a rotação devido à distorção por cisalhamento e devido à flexão da viga e é o deslocamento ao longo do eixo

As equações de equilíbrio são dadas pelas seguintes equações diferenciais

Eq.4

Eq.5

A teoria de viga de Timoshenko se reduz à teoria de viga de Bernoulli quando a expressão 6 for próxima de zero, ou seja

Eq.6

Combinando as equações 4 e 5 para uma viga homogênea de seção transversal constante tem-se

Eq.7

O momento fletor e a força cortante são dadas por

Eq.8

Eq.9

A dedução da formulação da teoria de viga de Timoshenko pode ser vista de forma mais detalhada em Martha (2014) e nos livros clássicos de Timoshenko. A Figura 1 mostra a diferença na consideração entre os dois modelos de viga em uma viga engastada e livre de seção transversal retangular constante.

Figura 1 – Modelo de viga de Bernoulli e Timoshenko

Embora o emprego da teoria de viga de Bernoulli seja o mais abordado nas universidades, a teoria de viga de Timoshenko representa o comportamento mais próximo da realidade, sendo recomendável que, mesmo com pouca diferença entre os métodos, seja utilizada a teoria de viga de Timoshenko.

3 Coeficiente de cisalhamento

Diversos autores propuseram uma grande variedade de fórmulas para o parâmetro do coeficiente de cisalhamento, conforme abordado em Faghidian (2017), algumas formulações são apresentadas em sequência.

Cowper, apud Faghidian (2017) apresenta a seguinte fórmula para o cálculo do coeficiente de cisalhamento em seções retangulares

Eq.10

O valor consagrado de é obtido somente quando o coeficiente de poisson é nulo, o que constitui uma aproximação que não corresponde à realidade. Existem outras formulações semelhantes à equação 10 que levam em consideração a relação entre a base e a altura da seção. Podem-se citar as formulações de Stephen, apud Faghidian (2017) e Hutchinson, apud Faghidian (2017), contudo há pouca discrepância de valores para tais formulações, principalmente para uma elevada razão entre a base e a altura da seção.

Em seções circulares, Hutchinson apud Faghidian (2017) apresenta a seguinte expressão para o coeficiente de cisalhamento

Eq.11

Outras formulações são apresentadas em Faghidian (2017) para seções circulares. Verifica-se, a partir dos estudos de Faghidian (2017) e Chan, et al. (2011), que o coeficiente de cisalhamento é função do coeficiente de poisson e da relação entre as dimensões da seção transversal.

É interessante notar que os valores do coeficiente de cisalhamento para seção circular e retangular, quando admitido coeficiente de poisson nulo, chegam ao mesmo valor obtido pelas expressões de Cowper, apud Faghidian (2017).

Os coeficientes apresentados são válidos para seções cujo centro de cisalhamento seja coincidente com o centro de gravidade da seção; Dong, et al. (2013) e Barretta (2010) demonstram que para seções cujo centro de cisalhamento difira do centro de gravidade ocorrem mudanças em sua formulação.

Uma das dificuldades da implementação da teoria de Timoshenko na análise estrutural está na determinação do coeficiente para determinadas seções. Segundo Dong (2013), embora os coeficientes de cisalhamento propostos em literatura tenham bases sólidas, ainda há relutância em sua aceitação, pois as explicações não são totalmente convincentes e sua eficácia não tem sido avaliada para uma variedade de aplicações.

Demais coeficientes de cisalhamento foram omitidos desse estudo por não serem usuais na prática, contudo, recomendam-se os trabalhos de Faghidian (2017), Chan, et al. (2011), e Dong et al. (2010, 2013) para maior conhecimento sobre o assunto.

4 Formulação matricial

Soriano (2005) apresenta a formulação matricial pelo método dos deslocamentos considerando o efeito de deformação devido à força cortante. O efeito da deformação devido à força cortante é dado pela expressão 12

Eq.12

Onde é a rigidez à flexão, é a rigidez transversal, é o comprimento do elemento, e é o coeficiente de cisalhamento.

A matriz de rigidez de um elemento de barra, considerando o efeito da distorção devido ao cisalhamento, é dada pela Figura 2

Figura 2 – Matriz de rigidez considerando o efeito da distorção

5 Análise numérica

As análises efetuadas nos itens 5.1, 5.2 e 5.3 foram realizadas com auxílio do software Mathcad, tendo como base as rotinas implementadas em Soriano (2005). O carregamento adotado em todos os exemplos foi distribuído com magnitude de , variou-se a altura da seção para cada situação mantendo a base constante com valor de .

Admitiu-se a resistência característica de compressão do concreto é e foi considerado o módulo de elasticidade secante proposto pela NBR 6118 (2014) dado pela expressão 13, sendo arbitrados os seguintes valores para os coeficientes e

Eq.13

O coeficiente de cisalhamento foi obtido por meio da equação 10 admitindo-se o valor recomendado pela NBR 6118 (2014) para o coeficiente de poisson , obtendo-se

Eq.14

É interessante salientar que o valor obtido na expressão 14 é muito próximo do valor normalmente utilizado para seções retangulares de , tendo uma diferença inferior a 2%.

Ressalta-se que as análises efetuadas se restringiram apenas à análise teórica, desconsiderando-se os efeitos de fluência que ocorrem no concreto, a fissuração na viga e a influência da taxa de armadura longitudinal e transversal. Fica proposto para estudos futuros a influência que esses efeitos causam nos deslocamentos da estrutura ao se considerar a distorção por cisalhamento em conjunto com diferentes condições de contorno.

5.1 Viga biapoiada

A estrutura utilizada neste e nos demais exemplos foi discretizada em 20 elementos de barra. Os deslocamentos obtidos foram comparados com os do software Ftool, onde foi verificada a concordância nos resultados. A Tabela 1 e a Tabela 2 apresentam os resultados obtidos para o deslocamento máximo em uma viga biapoiada dado pela Figura 3.

Figura 3 – Modelo estrutural viga biapoiada

Tabela 1 – Viga biapoiada com vão de 10 metros

Tabela 2 – Viga biapoiada com vão de 5 metros

Os resultados obtidos na Tabela 1 e Tabela 2 são consistentes com os dados apresentados em Soriano (2005) e Martha (2010), haja vista que o efeito da distorção por cisalhamento não influencia de forma significativa os deslocamentos, apenas para uma baixa relação entre o vão e a altura da seção. Oñate apud Silva, et al. (2016) relata que para uma relação vão/altura inferior a 10 deve-se aplicar a teoria de viga de Timoshenko, ou seja, considerando uma diferença de 2% nos deslocamentos em relação à teoria de Bernoulli, que consiste em um critério aceitável para se utilizar o coeficiente de cisalhamento.

5.2 Viga biengastada

A Tabela 3 e a Tabela 4 apresentam os resultados obtidos para o deslocamento máximo em uma viga biengastada dado pela Figura 4.

Figura 4 – Modelo estrutural viga biengastada

Tabela 3 – Viga biengastada com vão de 10 metros

Tabela 4 – Viga biengastada com vão de 5 metros

Observa-se que os deslocamentos relativos obtidos na viga biengastada foram significativamente maiores em comparação aos de viga biapoiada, exceto para elevada razão vão/altura na qual a diferença entre os resultados foi irrisória. Esse resultado está de acordo com o obtido em Martha (2014) onde foi realizado um estudo da carga crítica de flambagem considerando as teorias de Bernoulli e Timoshenko para uma viga engastada e foi constatado que os deslocamentos oriundos da teoria de viga de Timoshenko foram expressivamente superiores aos de Bernoulli.

5.3 Viga contínua

A Tabela 5 apresenta os resultados obtidos para o deslocamento máximo em uma viga contínua dado pela Figura 5.

Figura 5 – Modelo estrutural viga contínua

Tabela 5 – Viga contínua de dois vãos

A razão entre as teorias de viga de Timoshenko e Bernoulli para viga contínua foi em média superior à de viga isostática e inferior à de viga biengastada. Pôde-se verificar que com o aumento do grau de hiperestaticidade da estrutura maior foi a influência da teoria de viga de Timoshenko no cálculo do deslocamento.

6 Análise dos resultados

Constata-se, a partir dos resultados apresentados, que a teoria de viga de Timoshenko, em comparação com a teoria de viga de Bernoulli, gerou maiores deslocamentos em todos os casos apresentados, como de fato é relatado em literatura técnica.

Observa-se que o aumento dos deslocamentos na teoria de viga de Timoshenko não é função apenas de características da seção ou da relação entre o vão e a altura da seção transversal, mas também é dada em função da condição de contorno da estrutura.

Em vigas isostáticas, seguindo o critério em que a diferença entre os deslocamentos pelas duas teorias deve ser inferior a 2%, deve-se utilizar o efeito da distorção devido ao cisalhamento quando a razão entre o vão e a altura for menor que 10.

Seguindo os critérios adotados no parágrafo anterior, em vigas contínuas deve-se verificar a relação entre a altura da seção e o vão de cada tramo da viga, recomenda-se que quando esta relação for inferior a 20 seja utilizada a teoria de Timoshenko para o cálculo dos deslocamentos.

De forma análoga aos casos anteriores, em vigas biengastadas a distorção devido ao cisalhamento deve ser considerada quando a razão entre o vão e a atura for inferior a 25.

As estruturas apresentadas nos itens 5.2 e 5.3 são hiperestáticas e apresentaram maiores deslocamentos pela teoria de viga de Timoshenko do que pela teoria de Bernoulli. Verifica-se que, em vigas cuja restrição de apoio esteja na rotação (engastado), a teoria de viga de Timoshenko apresenta deslocamentos mais acentuados. Verificou-se que o grau de hiperestaticidade influencia na diferença entre os deslocamentos, diante dos resultados obtidos pôde-se inferir que quanto maior o grau de hiperestaticidade da estrutura, maior a influência dos deslocamentos pela teoria de viga de Timoshenko. Resultado semelhante pode ser observado em Martha (2014) onde se verificou que uma viga engastada submetida a um carregamento axial sofre maiores deslocamentos ao se considerar a distorção por cisalhamento em comparação com a teoria de viga de Bernoulli.

Ressalta-se que o estudo se restringiu a casos particulares de condições de contorno e geometria. Para situações diferentes das apresentadas, devem-se realizar estudos específicos a fim de verificar a magnitude da influência que a distorção por cisalhamento provoca na estrutura.

7 Conclusões

Observou-se neste artigo que o efeito da distorção por cisalhamento não deve ser negligenciado no dimensionamento estrutural, podendo chegar a uma diferença de até mais que o dobro em comparação com a teoria de Bernoulli.

Diante dos resultados apresentados, recomenda-se que seja levado em consideração o efeito da distorção por cisalhamento, não apenas em vigas de grande altura ou de baixa relação entre o vão e a altura da seção, mas também deve-se considerar a condição de contorno adotada no elemento estrutural.

Tendo como referência que não pode haver uma discrepância maior que 2% nos deslocamentos em comparação com a teoria de Bernoull, sugere-se que a teoria de viga de Timoshenko seja utilizada para as seguintes relações entre vão e altura em função da condição de contorno: Vigas isostáticas com relação vão/altura inferior a 10, vigas contínuas de dois vãos com comprimentos iguais com relação vão/altura inferior a 20 e vigas biengastadas com relação vão/altura inferior a 25.

Certos aspectos que não foram abordados neste estudo devem ser levados em consideração no cálculo dos deslocamentos. Em estruturas de concreto armado, devem-se levar em conta os efeitos de fissuração que reduzem a rigidez da estrutura e consequentemente amplificam os deslocamentos, a contribuição na rigidez que a taxa de armadura longitudinal e transversal proporcionam e os efeitos de fluência do concreto que aumentam os deslocamentos.

Vale ressaltar que a teoria de viga de Timoshenko é a que, teoricamente, representa com maior precisão o comportamento da estrutura, devendo, sempre que possível, utilizá-la na análise estrutural.

Referências

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